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一张照片，最近让不少人红了眼眶。
2026年国际数学家大会现场，王虹成为历史上第三位、也是中国籍第一位获得菲尔兹奖的女性。台上，她从容介绍自己的研究成果；台下，座无虚席，掌声如潮。而在会场外，另一幕被镜头捕捉：王虹的导师拉里·古斯没有座位，背着那只旧书包，站在会议厅的玻璃窗外，手撑着墙，隔着玻璃，微笑着注视着自己的学生。
那面玻璃仿佛划出了两个世界。里面是鲜花、聚光灯和雷鸣般的掌声；外面是没有席位却满脸骄傲的导师。他的神情仿佛在说：“看，我的学生，多棒。”
而这位站在舞台中央的女孩，曾经差点被数学拒之门外。
时间回到1990年代的桂林。那时的小王虹，放学回家最爱读希腊神话、《哈利·波特》和《指环王》，也爱打乒乓球和羽毛球，常和父母在漓江边散步。父母都是教师，从不强迫她苦读。对她而言，数学只是众多爱好之一。拿到新课本，她会在开学前做完所有习题；再去书店淘更多数学书，继续做完。
她记得一道有趣的题：总共7棵树，怎么种才能让“一行三棵”的行数最多？她在纸上画了一个等边三角形，三个顶点各种一棵，每条边中点各一棵，中心再种一棵，得出了六行。做得比身为数学老师的父亲还快。那年，她才六岁。
后来王虹回忆，她迷恋数学的原因在于其“永恒”。历史会被改写，英语充满例外，唯有定理坚如磐石。
但这条路走得并不平坦。2007年，她考入北大地球与空间科学专业，后转入数学系。在北大的日子里，她的成绩并非顶尖，甚至怀疑自己是否适合读研。转机出现在法国巴黎综合理工学院在北京举行的招生考试。2011年，她赴法深造。全法语授课，而她不会法语。幸运的是，第一学期的大多数数学内容她已接触过。她和懂法语的同学一起吃饭，安静聆听，礼貌请教，慢慢便能听懂更多。不过，科研能力的自我怀疑并未消散，她一度转向建筑学，后又折返数学。
2013年，她前往麻省理工学院（MIT）做研究实习。期间，数学家拉里·古斯讲解埃尔德什距离问题。古斯讲得太透彻，王虹觉得自己深入理解了部分证明。次年，她进入MIT攻读博士，选定古斯为导师。
王虹曾在采访中坦言，导师是古斯这件事，是她坚持下来的理由之一。
古斯如何教导她？首先，王虹承认自己脑海中的想法是“乱”的。她从小解题速度快，但思维像散落的珠子，缺根线串联。古斯就坐在黑板下听她说，鼓励她将杂乱的想法全盘托出，通过提问引导她从混乱中提炼线索；当她在黑板前卡壳时，他不催不赶，静待她想通捋顺；面对失败，他帮她重建韧性。
古斯有一句话鲜为人知。谈及挂谷猜想的研究，他说：“我从未解决，但有四五次，我觉得自己可能做到了。”每一次，都在公开发表前发现了错误。换言之，连导师本人也曾在此路上至少失败四次。但他从未因此劝王虹更换题目。
后来王虹攻克三维挂谷猜想，前后耗时近四年，一千四百六十天。这种耐性源于古斯当年的培养方式。古斯从不否定她的尝试，即便自己曾在此跌倒，也不阻拦她的脚步。
2025年2月，王虹与Joshua Zahl提交了长达127页的证明。古斯的名字未出现在作者栏，却在致谢里。论文致谢写道：“感谢我的博士导师Larry Guth，‘感谢他多年的指导、支持和鼓励’。”
2026年7月，王虹站上菲尔兹奖领奖台。
古斯站在窗外，背着旧书包，没有座位。他笑了。
成名后的王虹，走在街上常被认出，演讲邀请和采访排到年底。但她最怀念的不是获奖，而是小时候在桂林，觉得有无限时间读书的日子。她看着导师古斯，这位顶尖数学家至今仍留时间读闲书。她说：“我总希望自己也能回到那种感觉里。”
一门两院士，两代人的传承
要讲古斯，得从他父亲艾伦·古斯说起。
艾伦·古斯出生于1947年。1979年，他在康奈尔大学听了一场关于宇宙学平坦性问题的报告，从此转向宇宙学。同年12月，他在斯坦福提出“宇宙暴胀”思想：宇宙在大爆炸后的极短时间内经历了一次急剧加速膨胀。他将这一发现称为“惊人的悟觉”。1980年，他以客座副教授身份重返MIT，1981年正式发表第一个暴胀模型。如今他是MIT维克多·F·魏斯科普夫物理学讲座教授，美国国家科学院院士。
儿子拉里·古斯，1977年出生，亦斩获多项极具影响力的数学奖项。2012年，古斯加入MIT数学系，2019年起担任Claude E. Shannon数学教授，2021年当选美国国家科学院院士。2022年，他与合作者在黎曼猜想相关问题上取得重大突破。
父子俩均为美国国家科学院院士，且同在MIT任教。
但真正动人的，并非这两份简历。
十年，才学会父亲做的那件小事
拉里·古斯最珍贵的童年记忆，是与父亲坐在一起，谈论数学和物理。
少年拉里有个“毛病”：思维太快，手跟不上脑子。父子讨论问题时，拉里冒出一个想法，主意虽好，但在纸的这一角写一点，那一角涂几笔，整张纸像作战地图。你得极度专注才能明白他的意思。
换作大多数父亲或导师，或许会说：“什么乱七八糟的，重写一遍。”
但艾伦·古斯没有。这位提出宇宙暴胀理论的物理学家安安静静地坐在儿子旁边，拿起另一张纸，一行一行、非常系统地把拉里的想法整理下来。那些散落各处的凌乱念头，被父亲一条条理顺，终于看清了他的意图。
拉里后来回忆，他花了大约十年，才学会父亲那种一次只写下一个想法的系统性思维。
你以为父亲只是替儿子整理了草稿纸吗？他在教儿子，大脑里的飓风是可以被驯服的。
如今拉里在MIT教书，他鼓励学生采用同样的方法。“我们父子都很喜欢教学，父亲当年处理问题的方式，正是我如今喜欢向学生讲解的方式。”
今天父子俩都在MIT，仍定期约午饭，讨论数学和物理。尽管研究领域高度专业化，拉里却说：“与其解释各自的研究，讨论更经典的问题往往更有趣，那些问题更酷，对我们俩来说也更容易理解。”
数学之外，拉里一直热爱戏剧，常邀朋友来家朗读剧本。他说这不仅是研究的调剂，更因为戏剧和数学有着奇妙呼应。“数学给人的印象是极其复杂的，这有一定道理。但另一方面，我们感兴趣的是人们习以为常的简单事物：数字、圆形、直线。数学的一个要素就是不要把这些东西视为理所当然。”同样，表演中也不能对角色想当然，“你必须思考你的角色正在经历什么，并且要更认真地对待它，而不只是乍一眼看去。”
不催不赶，静等花开
拉里从父亲那里继承的，不仅是系统性思维，更是一种对待“失败”的态度。
父子间的讨论从来不是单方面给出答案。他们常一起面对未知：先猜测，再尝试证明；如果失败，就尝试推翻；如果仍无法证伪，便重新开始。拉里说：“很多学生证明失败后会感到沮丧，但更好的状态应该是：很有意思，这个方法没有奏效。我想知道为什么它没有奏效。”
失败不是终点，而是理解问题的入口。
他就是这样教王虹的。
王虹曾因高考失利未能进入北大数学系，学了地球科学；转系后又觉得自己不够好；去法国读研时，一度因“不知道目标是什么”转去学建筑。她在采访中说，自己做的每件事，都只觉得是“运气好”。而古斯帮她树立了信心，赋予她一种安全感。
古斯身上有一种极少见的品质：松弛。他不制造焦虑，不传递恐慌。他只做一件事：把你散落一地的想法，一个一个捡起来，摆好，让你看清楚。他放手让学生尝试，即使走不通也无妨。
古斯评价王虹时说，她研究得慢，但研究得深，不受传统思路限制。这种放长线钓大鱼的天才，确实需要古斯那种不催不赶的培养节奏。
王虹从MIT毕业后，前往普林斯顿高等研究院做博士后。
离开古斯后，她不但没有“不行”，反而像一棵移栽后活得更旺的树，陆续做出好几个重量级成果。古斯不会让你永远依赖他，他只让你慢慢学会自己走路。
然后她回来，攻克了三维挂谷猜想。
古斯自己说过，他在这个猜想上失败过四五次。他比任何人都清楚这条路有多难走。但他没拦她。
王虹和Zahl用了四年。2024年初，证明的归纳逻辑终于走通，但王虹不让自己得出结论。“这是一个难题，我是谁，怎么能解决它？”她说。“你会产生怀疑。但从感觉上讲，论证是自然的。”她在脑海里能“看见”那个逻辑：一个尺度的管子变成更大尺度的厚板，再变成填满整个空间的平板。形状如何演化成彼此，告诉她挂谷集必然是三维的。
但她又花了一年时间才公开发表。
因为她怕的是“表达得不够清晰”。不是怕错，是怕别人看不懂。王虹这种近乎偏执的严谨，某种程度上正是古斯教她的：父亲当年替拉里整理的，不就是“表达”吗？
AI比很多老师更有耐心，也更聪明
说到这里，你可能会想：现在AI这么厉害，老师的角色是不是没那么重要了？
坦率地说，AI确实比很多老师更好。它永远有耐心。你问一百遍“为什么”，它不会烦。你深夜两点突然想通一个问题，想问点什么，它在线。它不会因为今天心情不好就敷衍你，不会因为你的问题太基础就翻白眼，不会因为你的进度太慢就暗示你“不适合学这个”。
AI的知识储备远超于人。一个高中数学老师可能只精通高考范围内的东西，但AI可以瞬间调取整个数学谱系，从欧几里得到佩雷尔曼，从数论到拓扑，跨领域连接，随时为你展开。它不会说“这个我教不了”，它只会说“这个问题涉及的东西有点多，我帮你梳理一下”。
AI讲得也未必差。它能根据你的理解水平调整表述方式，用你听得懂的语言重新解释同一个概念。你学得快，它提速；你卡住了，它换一种讲法。它甚至可以帮你生成定制化的练习题，精准打击你的薄弱环节，这比大班教学里“所有人做同一张卷子”效率高太多了。
如果你只是想“学会”某个东西，通过考试、掌握技能、解决具体问题，AI是那个永远不会累、永远不会不耐烦、永远不会敷衍你的老师。它比你遇到的绝大多数人类老师都更称职。
那问题来了：既然AI已经是更好的老师，为什么陶哲轩最近还要说，“在教育领域必须严格限制AI”？为什么还需要古斯坐在王虹对面？
陶哲轩的回答：你要的从来不只是“答案”
2026年7月，陶哲轩在国际数学家大会上做了一个演讲。题目叫《人工智能时代的数学》。
他先讲了一个让人紧张的事实。一个叫First Proof的独立评测，出了十道全新的研究级难题，AI以“可发表质量”解出了七道。单题成本10到1000美元。
然后他说：我假设AI已经能批量解题了。接下来怎么办？
他提出了一个概念：证明消化。
数学工作的完整流程不是“出答案”就结束了。它分四步。第一步，解题。第二步，验证正确。第三步，清晰阐述。第四步，被数学界消化、理解、接受，最终沉淀为教科书里的经典理论，教给下一代。
陶哲轩说：前两步AI都能做。第三步勉强能做，但做得很糟。第四步，AI永远做不到。
为什么？因为AI生成的证明太“顺滑”了。语法完美、格式工整、没有一处错误。但正是这种完美，毁掉了“理解”的可能性。
陶哲轩的原话是：人类写的证明里，作者觉得困难的部分，通常会留下“自然的摩擦力”，那种磕磕绊绊的痕迹，会“促使读者放慢速度，更加专注”。而AI的过度润色，会把所有摩擦抹掉，“不会真正鼓励读者去学习和理解论证的关键思想”。
他甚至说了一句话：人类阐述之中的错误，最终可能对读者有帮助。
为什么？因为你看一个人推导时卡住、回头、重来、终于走通，你学到的不是“正确答案”，而是“如何思考”。那些磕绊是理解的路标。AI给的完美答案，像一条高速公路，你嗖一下就过去了，但你什么风景也没看见。
然后陶哲轩把这个问题指向了教育。他在第49页和第50页写了两段话，语气很重：
“在许多领域（特别是教育和培训中），强调工作中的人性化方面，并严格限制AI工具的使用，将是至关重要的。”
他不是反对AI。他是说：教育的目的，不是让学生“获得答案”，而是让他们“学会如何理解”。而理解这件事，需要犯错、需要困惑、需要有人在旁边，看着你跌跌撞撞，不替你走，但陪着你。
AI能给你的，AI也能拿走
还有一个更深的问题。
AI可以教你数学。但如果你从小到大所有的“理解”都是AI帮你梳理的，你自己大脑里永远建立不起那个框架。你只是在消费AI的成品，没有参与生产。
你依赖AI解释概念，但你自己不会解释。你依赖AI整理思路，但你自己拿到一张白纸，写不出一行清晰的语言。你依赖AI指出错误，但你自己看不出哪里错了。
陶哲轩在演讲中定了一条规矩：如果作者不能做出令人信服的证明，不能就自己的成果做出一场清晰、专业的专家级演讲，且内容正确、归因恰当，那么该成果就不应该被发表。
这条规矩的潜台词是：数学的最终裁判，是一个人，站在讲台上，用自己的话，把一件事说清楚。
AI可以给你答案。但AI不能替你站在讲台上。
2026年6月2日，国际数学联盟背书的《莱顿宣言》发布。核心精神只有一句话：数学过去是、将来也应该永远是一项深刻的人类事业。
AI取代不了古斯
回到古斯和王虹。
AI可以在十分钟内给王虹讲清楚埃尔德什距离问题的完整证明。AI可以随时回答她的疑问，列举参考文献，生成反例。AI的耐心无限，知识无限。
但AI不会做古斯做的那件事——
2013年的那个下午，如果是一个AI在台上讲课，王虹听到的是完美的语音、流畅的逻辑、无懈可击的表述。她可能快速理解了证明。然后呢？然后她记了一个笔记，关掉屏幕，结束了。
但讲台上站着的是古斯。一个活生生的人。他在讲自己做过的东西，那些失败过的尝试，那些拐错的方向，那些“我在这里卡了三个月”的停顿。王虹听出来的不是“一个完美答案”，而是“一个人走过的路”。她因此觉得：我能理解。也许我也可以。
第二年，她选了古斯做导师。
古斯教她的方式，就是当年艾伦教他的方式：坐在她对面，听她把脑子里乱七八糟的想法全都倒出来，然后一行一行帮她梳理。
AI不会对你说：“我从来没解决这个问题，但我觉得你可以试试。”AI不会告诉你：“我在这个方向上失败过四五次。”AI不会看着你花了四年时间走一条可能走不通的路，然后说：“你去撞那堵墙，撞完告诉我你看到了什么。”
AI也不会在你获奖那天，背着旧书包，站在会议厅的玻璃窗外，没有座位，笑着看你。
AI可以生成证明，但AI不会为你的成功感到骄傲。
有些人把你当耗材，有些人把你当作品
有人说：“我导师从来不跟我讨论问题，组会就是汇报进度、挨骂、接着做牛马。”
有些人遇到的“导师”，是把学生当耗材的。论文发出来，署名排第一的人，连你的名字都没记全。你熬夜跑的数据、想破脑袋的创意，填了别人的晋升材料。他教了你“职场生存法则”，而你交的学费，是整个青春。
好的教育不是这样。
好的教育，是有人愿意花十年时间，帮你把乱糟糟的草稿纸理成清晰的语言。
好的教育，是“我知道这个方向可能走不通，但我不拦你，你去试试。”
好的教育，是不替学生走，陪她走，然后坦然看着她超过你。
好的教育，是学生站在台上发光时，老师站在窗外，背着旧书包，没有座位，却笑得比谁都开心。
你一辈子能碰到几个这样的人？
王虹碰到了。
窗外，是一个老师最该待着的位置
王虹得奖那个下午，古斯没挤进荣耀的座位区。他站在外面，隔着玻璃。
那一幕让那么多人破防，因为 “窗外”是一个好老师最常待的位置。
他不在镜头里。但没有他，你走不到那儿。
陶哲轩说：数学的价值不在于得到答案，而在于人类理解、消化和传承答案的过程。
AI给你答案。
只有人，给你“理解”。
只有人，把“理解”变成“传承”。
只有人，在你成功的那个下午，站在你也许永远不会知道的位置，替你高兴了一辈子。
王虹在采访里说，看着古斯至今还会找时间读闲书，她总希望自己也能回到那种“有无限时间阅读”的感觉里。她说：“我觉得那段时光真的很好。”
一位顶级数学家最怀念的，不是发论文，不是拿奖，是有人让她觉得，时间是可以浪费在喜欢的事情上的。
如果你也遇到了这样的人，请记得回头看一眼窗外。
有人站在那里，替你高兴了一辈子。
参考文献
https://news.mit.edu/2014/profile-larry-guth-0527
https://teorth.github.io/tao-web/slides/age-of-ai-icm-2026.pdf
https://www.quantamagazine.org/hong-wang-wins-2026-fields-medal-the-third-woman-ever-20260723/
来源|心智观察所
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