引力波为何被视为时空本身的波动？电磁波的波动方程能为理解引力波提供怎样的参照？在TT规范下，引力波的平面波解如何描述引力效应？它又是怎样引起相邻测试粒子间距离变化的？7月18日中午12点，《张朝阳的物理课》第二百九十期准时开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳现身搜狐视频直播间，针对上述核心问题进行了详细拆解。本期课程首先重温电磁波的波动方程，随后深入弱场近似下的引力波理论。通过将时空度规分解为平直背景与微小扰动，并在洛伦茨规范下推导出引力波满足的波动方程；接着探讨远场引力波的平面波解，利用TT规范阐明引力波振幅的具体形式；最后，基于测地线方程和协变加速度，解释引力波如何通过时变的度规扰动改变相邻测试粒子的固有距离，从而揭示LIGO等干涉仪探测引力波的基本物理机制。
（张朝阳介绍真空中的引力微扰）
回顾电磁波的波动方程
2015年9月14日，位于美国Hanford和Louisiana的LIGO引力波探测器首次捕捉到来自双黑洞并合事件的引力波信号。这一具有里程碑意义的事件被命名为GW150914。该事件距离地球约 ，参与并合的两个黑洞质量约为 倍太阳质量和 倍太阳质量，最终形成了一个约 倍太阳质量的黑洞。GW150914的发现不仅首次直接验证了引力波的存在，也为研究强引力场中的时空动力学提供了至关重要的观测数据。
在探讨引力波之前，不妨先回顾一下电磁波的波动方程。电磁场可以通过电势 和磁矢势 来描述。在真空中，它们遵循如下波动方程：
这类波动方程的解可以表示为平面波的叠加。对于单色平面波，其表达式为：
为了将这一形式转化为相对论协变的表达，我们引入四维坐标：
并统一记为 ，其中 。在平直时空中，闵可夫斯基度规为：
在爱因斯坦求和约定下，电势 满足的波动方程可以写成：
这一表达式表明，波动方程可以用度规和四维普通导数统一写出。它不仅揭示了电磁波的传播形式，也证实了电磁波在真空中以光速传播。
（张朝阳回顾电磁波波动方程）
引力波的波动方程
接下来讨论引力波。在广义相对论中，引力不再被视为一种普通的力，而是时空几何本身的表现。在真空区域中，能动张量为零，因此爱因斯坦场方程给出：
如果某个遥远的天体系统产生了引力波，例如双黑洞并合，那么波源附近的引力波具有球面波特征。随着传播距离的增加，球面波的振幅逐渐衰减。当引力波传播到地球附近时，由于距离极远，波的振幅已经非常微弱。因此，可以把地球附近的时空看作闵可夫斯基平直时空上的一个小扰动。于是，度规的 型分量可以写成：
其中
而 表示相对于平直背景的微小扰动。
第二个等号来自于度规分量是对称矩阵。这里 的每一个分量都是小量。相应地，度规的逆分量，即 型分量，在一阶近似下可写为：
这一点可以通过直接相乘来验证：
其中
而 是二阶小量，可以在一阶近似中忽略。因此，在保留到 的一阶时，上述的 和 的确互为逆矩阵。需要注意的是，我们的背景时空是平直的闵可夫斯基时空。若张量场表述于该背景时空，则可使用度规 进行指标升降，例如微扰 是该背景时空上的张量，而 是该时空上与度规适配的导数算符。因此， 和微扰分量 都应使用度规分量 或 升降指标。然而，对于像度规 这样不定义在闵可夫斯基时空上的量，我们不能直接用度规 进行指标升降，而必须先表示成闵可夫斯基时空上的张量，例如 型分量 ，然后才能使用度规分量 进行处理。
里奇张量的 型分量可由黎曼曲率张量缩并得到，用克氏符表示时，有：
克氏符由度规给出：
将和代入，并只保留 的一阶项，可得：
由于克氏符本身已经是 的一阶小量，所以里奇张量分量中的 项至少是二阶小量，在一阶近似下可以忽略。因此：
进一步展开得到：
这就是弱场近似下里奇张量分量的一阶表达式。在洛伦茨规范条件下：
代入上式，里奇张量的分量化为：
里奇标量在一阶近似下为：
而从场方程看，代表几何的爱因斯坦张量还有一个里奇标量，爱因斯坦张量在弱场近似下为：
因此，爱因斯坦场方程可以写成：
为了把方程写成标准波动方程的形式，定义反迹扰动：
用 表示时，洛伦茨规范条件可以写为：
场方程则变为：
在真空中，能动张量 ，因此得到无源波动方程：
这说明，在弱场近似和洛伦茨规范下，引力波满足与电磁波类似的波动方程，并且在真空中以光速传播。
（张朝阳推导引力波的波动方程）
引力波的平面波解
实际天体源发出的引力波通常具有球面波的形式。由于波源距离地球十分遥远，当引力波传播到地球附近时，球面波的曲率半径已经非常大。在探测器所在的局部区域内，可以近似认为引力波的波前是平面。因此，远场引力波通常可以用平面波来描述。
假设引力波沿 轴传播，那么垂直于传播方向的两个空间方向就是 轴和 轴。一般的引力波可以表示为不同频率平面波的叠加。为了分析其基本性质，我们先取其中一个单色平面波分量：
其中系数 是引力波振幅张量，三维波矢为：
将这一平面波解代入真空中的引力波方程中，得：
因此色散关系为：
对于沿 轴正方向传播的波，可以取：
这说明引力波在真空中以光速传播。
平面波也可以写成四维形式：
其中是4维波矢，其逆变分量为，是四维坐标。若引力波沿 轴传播，则可以取：
由于闵可夫斯基度规为，对应的协变分量为：
将4维形式写成分量指标的形式为：
由于度规扰动 是对称矩阵， 一开始具有 个独立分量。然而，引力波真正的物理自由度只有 个。为了把多余的规范自由度去掉，通常选取横向无迹规范，也就是TT规范。TT规范的第一个条件为纯空间条件，也就是，因此振幅可写为：
TT规范的第二个条件是横波条件，即扰动张量的散度为零：
代入平面波解，有：
由于平面波因子不恒为零，所以必须满足：
这就是横波条件的分量形式。对于沿 轴传播的引力波，代入波矢，得到：
由于纯空间条件已经要求，所以：
于是振幅进一步化为：
TT规范的第三个条件是无迹条件：
代入沿 轴传播的平面波解，得到：
因此：
最终，沿 轴传播的TT规范平面引力波振幅可写为：
由此可见， 最终只剩下两个独立分量。这两个分量对应引力波的两个独立偏振模式。通常把 所对应的偏振称为 偏振，把 所对应的偏振称为 偏振。也就是说，引力波虽然来自度规张量的扰动，但在真空中真正传播的物理自由度只有两个。
（张朝阳介绍TT规范对度规微扰的限制）
时空扰动的形变
引力波的物理效应，是使时空中的相邻自由测试粒子之间的空间距离随时间发生微小变化。换言之，引力波并不是像普通外力那样直接推动某一个粒子，而是通过改变时空几何，使一组自由粒子之间的相对距离发生周期性变化。
测试粒子的运动满足测地线方程：
在弱场低速近似下，粒子的四速度主要沿时间方向，因此：
于是测地线方程近似为：
对于沿 轴传播的TT规范引力波，克氏符为：
所以单个测试粒子的坐标加速度为零：
如果考虑两个相邻测试粒子之间的空间分离矢量，也即形变矢量：
它的坐标分量的加速度满足：
这说明，在TT规范下，引力波不会表现为测试粒子坐标位置的加速变化。测试粒子可以保持固定坐标不动。然而，这并不意味着引力波没有物理效应。真正发生变化的是两个测试粒子之间的几何距离，也就是分离矢量本身的协变变化。
因此，描述形变时不能只看坐标分量的普通导数，还必须考虑标架随时空扰动发生的变化。也就是说，我们应该计算形变矢量 的协变导数。对 作协变微分，有：
两边除以 ，得到：
定义形变矢量的协变速度为：
相应地，形变矢量的协变加速度为：
在弱场低速近似下：
因此协变速度为：
协变加速度为：
展开计算加速度得到：
在TT规范下，粒子的坐标分离不随时间发生普通加速变化，因此：
同时， 是关于扰动 的一阶小量；若测试粒子最初相对静止，则 也是由扰动引起的一阶小量。因此是二阶小量，可以在一阶近似下忽略。最后一项包含两个克氏符，也是二阶小量，也可以忽略。因此，保留到扰动的一阶，有：
这就是形变矢量 的协变加速度。它正是测地线偏离方程在弱场低速极限下的表现。
接下来，代入克氏符的具体表达式，在平面波的情况下：
其中我们用到了TT规范的条件。代入协变加速度表达式，得到：
这个结果说明，引力波通过时变的度规扰动 改变测试粒子之间的相对距离。单个自由粒子在TT坐标中可以保持坐标位置不变，但多个测试粒子之间的固有距离会随时间振荡。正是这种相对距离的周期性变化，使得LIGO这样的干涉仪能够探测到引力波。
（张朝阳推导形变矢量所满足的加速度方程）
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